辗转相除法求最大公约数

辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种求两个正整数最大公约数的高效算法。让我们深入理解并跟随这一方法的步骤。

我们需要输入两个正整数，我们可以假设较大的数为 a，较小的数为 b。接下来，我们要计算 a 除以 b 的余数，我们称之为 r。这个余数 r 是 a 和 b 的特定运算结果，具体为 r = a mod b。

然后，我们要进行关键的替换操作。如果 r 为 0，那么 b 就是我们要找的最大公约数。如果 r 不为 0，那么我们要更新 a 和 b 的值。我们把 b 赋给 a，把 r 赋给 b，然后重复第二步的操作。这个过程会不断重复，直到余数为 0。

这个算法背后的数学原理非常深奥。简单来说，如果 d 是 a 和 b 的公约数，那么 d 也能整除 a 除以 b 的商 k。更进一步的原理是 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，这是一个递归的过程，每一次递归都会使问题规模缩小，直到余数为 0，当前的除数就是最大公约数。这个算法的关键在于每次迭代都保留了数的公约数性质。

让我们通过一个实例来更直观地理解这个过程。假设我们要求 1071 和 462 的最大公约数。我们执行除法操作：1071 除以 462 余数是 147。接着，我们用新的被除数（b的值）和余数继续进行除法操作，直到余数为零。在这个过程中，我们找到了最大公约数：21。这就是辗转相除法在实际操作中的应用。

在代码实现上，我们可以使用Python语言来实现这个算法。在处理负数时，我们需要取数的绝对值进行计算。这个算法的时间复杂度为 O(log n)，对于大数计算来说非常高效。它的关键在于逐步缩小问题规模，确保每次迭代都保留公约数性质，最终得到正确的结果。