什么叫自然数包括哪些

自然数，作为数学世界中的基础构成，无疑是计数与排序的得力助手。当我们深入其定义，会发现不同的学术领域或教材对其有着别样的解读，其中常见的两种解释如下：

让我们走进狭义自然数的世界，这是一个由正整数构成的世界，它的足迹遍布于初等数学教育以及一些特定数学分支。它如同一条蜿蜒曲折的小路，从1开始，延伸至无穷远，数字序列为：1, 2, 3, 4, 5, …。

而当我们转向广义自然数的广阔天地时，我们会发现这里不仅包含了所有的正整数，还有0这个特殊的数字。在集合论、计算机科学以及国际标准（如ISO 80000-2）中，这种定义被广泛应用。在这个世界中，数字序列为：0, 1, 2, 3, 4, 5, …。

两大阵营的关键差异在于是否包含0。而关于应用场景，我们可以这样理解：在计算机科学中，数组的索引往往从0开始，因此自然数包含0似乎更为合理。而在抽象代数中，包含0的自然数可以构成一个特殊的数学结构——幺半群。

与其他数集的对比中，我们可以知道自然数是整数的子集，而整数则是一个更为庞大的家族，包含了负数、零以及正数。与有理数和实数相比，自然数显得更为单纯，它并不包含分数、小数或无理数。

至于实际应用，当我们说“有3个苹果、5本书”时，我们往往使用的是狭义自然数；而在编程中给数组进行索引排序或者是在数学证明中，我们则更多地使用广义自然数。

无论是狭义还是广义的自然数定义，都有其独特的价值和广泛的应用场景。至于具体选择哪种定义，还需根据具体的学科或教材来确定。值得一提的是，在现代数学文献中，越来越多的学者倾向于使用广义的自然数定义。